Костић је рођен 28. августа 1939. године у Рвашима код Цетиња.
Завршио је Економски факултет у Београду.
Био је председник Председништва Социјалистичке Републике (СР) Црне Горе од 17. марта 1989. до 23. децембра 1990. и вршилац дужности председника Председништва СФРЈ од 6. децембра 1991. до 15. јуна 1992. године, када је функција укинута.
Био је и 14. генерални секретар Покрета несврстаних од 6. децембра 1991. до 15. јуна 1992. године.
Од 16. маја 1991. године, био је члан Председништва СФРЈ.
Костић је у другом кругу председничких избора у Црној Гори 1993. године изгубио од Момира Булатовића.
