Као дете летонских имиграната, Норман је одрастао у источном делу Лондона, где му је мајка купила прву гитару када је имао 16 година.
Пре него што је прешао на филм, компоновао је музику за представе позоришта Вест Енд, попут Експресо Бонго и Слатка Ирма. преноси ББЦ на српском језику.
Његова музичка тема о Бонду, наручена за филм Доктор Но - први у низу остварења о британском шпијуну из 1962, коришћена је у свим наставцима.
Продуцент Куби Броколи замолио је Нормана да компонује музику за тај филм, пошто га је импресионирао његов позоришни музички ЦВ.
Композитор је искористио једну од својих претходних композиција - „Бад Сигн Гоод Сигн" урађену за музичку адаптацију романа „Кућа за господина Бисваса" писца В.С. Најпола - и прерадио је имајући на уму углађеног шпијуна.
Норман је такође написао „Ундернеатх тхе Манго Трее" која прати чувену сцену на плажи из филма Доктор Но са Урсулом Андрес и Шоном Конеријем.
Џон Бери је урадио аранжман за тему Бонда, наводећи тако неке људе да претпоставе да ју је он написао, на Норманово незадовољство.
Године 2001. извео је британски лист Сандеј Тајмс на суд због чланка у којем се наводи да он није аутор чувене гитарске линије и добио одштету од 30.000 фунти за клевету.
У богатој каријери Норман је такође певао са познатим бендовима и појављивао се у различитим шоу програмима заједно са Хари Секомбом, Питером Селерсом, Спајком Милиганом и Томијем Купером.
